我国古代数学,距离微积分有多远?是否摸到微积分的门槛?

导语:之前发表了一些关于微积分方面的文章,很多网友都在对阿基米德、牛顿、欧拉、高斯等数学大神佩服的五体投地,感慨欧洲的那些数学家们简直是神一样的存在,与此同时有一些网友问到:我国古代数学在微积分方面有哪些贡献?他们是否摸到了微积分的门槛?下面我们主要谈一下我国古代微积分思想的萌芽和发展以及微积分在中国的传播,带你了解这段尘封的数学史!

先秦时期极限思想的萌芽

说到微积分思想的萌芽,首先要提到就是极限的思想的萌芽,因为整个微积分都是建立在极限的思想基础上。

我国在极限的思想上萌芽最早可追溯到公元前7世纪,老子和庄子哲学思想和著作中包含了无限可分性和极限思想的理论。

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庄子

庄子在其著作《庄子.天下篇》中提出的:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。这句话蕴含着无限可分的思想,也是最早的极限思想的萌芽。

老子在《道德经》第四十二章提出:“道生一,一生二,二生三,三生万物”。这句话蕴含着无限的思想,体现了一种动态的趋近过程。

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老子

公元前4世纪墨子在其著作《墨经》中提出了关于有穷、无穷,无穷大、无限可分和极限的早期概念。这些概念分散于自然哲学、数学、伦理等学科的条目中。如:

经上41】:穷,或有前不容尺也。

经说上】穷:或不容吃,有穷;莫不容尺,无穷。

意思是:所谓“穷”,就是相当于用尺子去度量区域时遇到前面容不下尺子的情况。这时连一尺也容不下了,就叫“有穷”;无论怎么度量总是遇不到这种情况,就叫“无穷”。

经下】73:无穷不害兼,说在盈否。

经说下】无:南者有穷则可尽,无穷则不可尽;有穷、无穷不可智,则可尽不可尽亦未可智;……..

《墨经》中以上内容包含了无穷的思想,也是最朴素的、最典型的极限思想。《墨经》这部著作包括光学、力学、逻辑学、几何学、工程技术知识和现代物理学等内容,其中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试。

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墨子

以上是我国古代最朴素的极限思想的萌芽,到了魏晋南北朝时期,极限思想有了更进一步的发展,最具代表性的人物有:刘徽、祖冲之和祖暅。

极限思想的进一步发展

刘徽是魏晋时期伟大的数学家,也是在中国数学史上最伟大数学家,他最为杰出的著作是《九章算术注》和《海岛算经》,这两部著作在我国历史上具有非常重要的地位。

刘徽在《九章算术注》中利用“割圆术”计算圆面积,用”圆内接正多边形的面积”来无限逼近”圆面积”。

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”——刘徽

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刘徽割圆术

刘徽的割圆术与阿基米德的割圆术思想是一致的,这两位伟大的天才,尽管他们天各一方、时隔数百年,但却有完全相同的方法。

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刘徽

古希腊的阿基米德算到了正96边形,但是刘徽并没有就此止步,他一直算到3072边形,虽然他略去了计算过程,但是为我们写下了下面的结果:

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刘徽利用割圆术将圆周率的计算精确到小数点四位,在没有计算器的年代,这个运算量可想而知,或许刘徽是人类历史上第一个发现了我们现在所用的圆周率的近似值。他的极限理论和无穷小方法在当时世界是最先进的,这种微积分思想直到17世纪初才在西方国家有了初步的发展。

刘徽之后,祖冲之和他的儿子暅对刘徽的数学思想和方法进行了推广和发展。祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家和无学家,他算出了圆周率数值的上下限:3.1415926(肭数)<π<3.1415927(盈数)。

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祖冲之

祖冲之的结果对于我国乃至世界都是一个超越前人的光辉成就,是圆周率计算的一个飞跃。祖冲之是最早把圆周率推算到小数点后7位的数学家,所以我们把圆周率命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”

祖冲之的儿子祖暅沿用了刘徽的思想,利用”牟合方盖”的理论去进行体积计算,得出”幂势相同,则积不容异”的结论。”势”即是高,”幂”是面积。

  • 出入相补原理

  • 祖氏原理:幂势既同,则积不容异。

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用祖暅原理计算球的体积

祖暅原理包含了求积的无限小方法,这种方法是积分学的重要思想,也是我们今天高等数学课本上提到的“微元法”的思想。这一原理”在西方国家被称为“卡瓦列里原理”,是由意大利数学家发现的,但是卡瓦列里发现这一结果比祖冲之父子晚了一千多年。

以上宋朝之前我国古代数学积分思想的萌芽,下面来看一下宋朝的数学家在微积分方面的贡献。宋代数学是我国古代数学发展的巅峰,涌现出了许多著名的数学家,如北宋的沈括和贾宪以及南宋的杨辉和秦九昭等人。

沈括是北宋政治家、科学家,他的代表作《梦溪笔谈》集前代科学成就之大成,在世界文化史上有着重要的地位,被称为“中国科学史上的里程碑”。他创立的“隙积术”,“会圆术”,“棋局都数术”等数学方法就可以体现到当时对高阶等差级数求和理论的深入研究。

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会圆术

沈括的“会圆术”包含了“以直代曲”的微元法的思想,所谓会圆术是指由弦求弧的方法,其主要思路是局部以直代曲会圆术示意图,对圆的弧矢关系给出一个比较实用的近似公式:

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贾宪是我国北宋天文学家和数学家,他的数学成就是创造了贾宪三角和曾乘开方法,贾宪三角比法国的帕斯卡三角早了600年。

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增乘开方法是求高次幂的正根法,贾宪提出的方法比传统的方法更简单快捷,他的这一方法比欧洲数学家霍纳的结论早700多年。

杨辉在其著作《详解九章算法》一书中给出的”开方做法本源”,即杨辉三角(也就是贾宪三角)这一结论是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

秦九韶在其具有划时代意义的《数书九章》中提到了“大衍求一术”、“正负开方术”,所谓“大衍求一术”(又称中国剩余定理)是用来求解一次同余组问题,而正负开方术是求解任意高次方程的数值解法,这些都是中世纪世界数学的最高成就。

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秦九昭

不可否认两宋时期,是我国经济和社会发展的巅峰,我们的很多技术在当时世界上处于领先地位,数学发展也达到了顶峰。但是那个时期的数学都是基于解决实际问题,或者说对数学的研究并没有上升的理论层面。虽然我国很早就有了极限思想的萌芽,沈括的“会圆术”包含了微积分的一些思想,但与微积分的诞生还隔着很遥远的距离。

西方微积分思想的传播

西方数学知识在中国的传播始于明朝后期,欧洲的传教士在传播宗教的同时还带来了一些科学知识。来自意大利的利玛窦是天主教在中国传教的最早开拓者之一。明朝万历年间,利玛窦来到中国传教,他带来了欧洲数学,向中国人推开了一扇面向欧洲和世界的窗户。

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油画《利玛窦与徐光启的文化盟约》

利玛窦带来的数学知识中包括大名鼎鼎的《几何原本》,1607年,我国著名数学家徐光启和利玛窦将《几何原本》的前6卷的平面几何部分翻译成中文,并命名为《几何原本》,这本书出版后引起了巨大的反响,成为明末从事数学工作的人必读的一部书。

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徐光启和利玛窦翻译的《几何原本》

在雍正之前,洛必达的《无穷小分析》、欧拉的《无穷分析引论》等数学著作已经由传教士带到了中国,但由于各种原因,这些著作和知识并没有传播开来。

微积分在中国最早的传播人是我国清代的数学家李善兰(1811-1882),他从小就喜欢数学,10岁时就偷偷自学了古代数学名著——《九章算术》,并将全书的426道例题全部解出,这大大增加了他对数学的兴趣。李善兰在15岁的时候又迷上了徐光启和利玛窦合译的《几何原本》,他为后面更为深奥的几卷没有译出感到非常的遗憾,暗下定决心要把后几章翻译出来并出版。

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左:李善兰 右:伟烈亚力

后来李善兰到了墨海书院,他与英国传教士伟烈亚力合作将《几何原本》的第七至十三卷译出来并于1858年正式出版。但伟烈亚力并不满足于现状,他希望继续出版更多的数学知识教材。李善兰和伟烈亚力先后合译并出版的著作有:《几何原本》13卷、《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷、《谈天》18卷;与此同时,他与艾约瑟合译《重学》20卷、《圆锥曲线说》3卷;他还与伟烈亚力、傅兰雅合译了牛顿的名著《自然哲学的数学原理》若干卷。

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《代微积拾级》

《代微积拾级》的出版在中国的科学发展史上具有里程碑意义,它标志着西方近现代数学开始在古老的华夏大地上传播。《代微积拾级》一直都是很多书院和学堂的数学教材,许多国产教材都是以这本书为蓝本的,正是此书将微积分真正的带入了中国,极大地促进了中国近现代数学的发展。

再写最后

纵观我国古代数学家的各种成就不难发现:虽然我国很早就有了极限思想的萌芽,虽然我国在宋代达到了古代数学的巅峰,有些结果比欧洲早了几百年甚至上千年,但是中国古代对数学的研究都是基于解决实际问题的计算问题,未能从具体问题的计算过程中抽象出更一般的概念和方法,很多问题都没有上升到理论层面,因此,更确切地说我国古代数学其实是算术。所以,尽管我国在早期数学方面取得了一些成就,但是就微积分的发明来说还有很大一段的距离,没有哪个数学家真正接近微积分的大门。

反观欧洲的那些数学家们,在牛顿和莱布尼茨创立微积分之前,阿基米德、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等微积分先驱,就已经从不同的方向逼近了微积分的大门,只不过他们的方法缺乏一般性,从而导致他们都没有完成对微积分的发明。这个时需要有人站在更高的高度来统一这些分散的理论,牛顿和莱布尼茨正是在这个时刻出场的,时代的需求和个人的才智,使他们完成了微积分创立中最后一步也是最关键的一步。

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