首先，电视里东西不要将他当做一个历史事实来看待。
其次，中国历史几千年，古人指哪个时期的古人呢？
所以，这个问题语焉不详，隐含前设有问题。但是，不等于没有讨论价值。
因为就我看到的历史资料显示，明清时代的就是普通老百姓，对银子的重量、成色的估算，确实特别在行。
这应该这是长时间使用银子训练出来的。
就跟今天一个杂货店老板，辨认人民币的真假，绝对不逊色于银行工作人员。
超市收银员女孩，收钱、找零、辨认真假的速度，应该又快又准吧？
说明一般人经过训练，可以达到收银员的水平。
所以，我对题主的问题中的「古人」，设定为明清时代。先假设问题的隐含前提成立。
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第一，我国古代以白银作为主要的流通货币，是从元代开始的，而且标准单位是「两」。
那种像船一样的「元宝」，就是所谓「元代的宝货」。元朝的元宝银锭以两为单位，有「50」、「20」、「12、5」三种规格。
元蒙没有入主中原以前，受西亚国家的影响，曾经铸造过银币。
也受汉文化影响，也铸造过外圆内方的「大朝通宝」。
入主中原以后，主要货币就是「元宝」。
从元、明、清开始，白银成为主要货币，铜钱退居次要位置，即便是钞票等信用货币，其标的物】也是白银，而不是铜钱。
所以，元、明、清三代，大部分时期银子都是以「两」做主要单位计算的。
到清末民国才有「银元」这种标准统一货币，「元」就成了货币单位，直到今天。
第二，在元明清三代，一两银子购买力是非常强的，一般的普通消费，一两银子绝对是要割开使用的。
我们知道，白银本身就是贵金属，是非常保值的货币。
（中国在古代就是最大的贸易顺差国，当时的丝绸、瓷器、茶叶贸易，使得西方在美洲殖民掠夺来的白银，大约三分之一都流入了中国。明代隆化以后，白银开始贬值，但即便是这样，白银的购买力依然很强。这就是另一个问题了，在此不讨论。）
我看了一些学者估算的材料，如：明代嘉靖、万历时期一两银子可以买大米两石，大致相当于今天的500——600元人民币。
详见换算过程就不讨论了，见注：2、3、4】
在元、明、清三代，国家发型的银锭，最小的单位是「十两」。
「十两银子」在明清也能过几个月的日子。在唐宋时代是一笔巨款。
平时生活购物，银锭就要分割开来用，以「两」、「钱」做单位，或者再以铜钱作为辅助。
就跟今天「元」以下有「角、分」单位，作为辅助一样。
第三，明清时代的大妈、店小二。。。等市井小民，都是分割银子和识别成色、估算重量的高手。
银子跟金子一样很软，牙齿都可以咬出印记，所以，用铁器很轻松的就可以割开。
因此，久而久之，市场上购物流行的银子，都是「碎银子」。
十两、五十两一个的元宝银锭，用于大额支付、官方、银行结算等场合。
碎银子的形状是不规则，也很容易参假，那么做生意的小商人，饭店老板，平时买菜买米的大妈，经过生活经验的「千锤百炼」，就拥有了跟今天超市收银员一样的技能。
我看到过一些明清时代西方传教士著作史料，他们发现中国当时的老百姓使用白银的特色：
1、使用的不是标准单位的银币，而是形状随意的银条、金条。
2、妇孺老少对准确估算银子重量和成色的技能可谓「稳准狠」，让「老外」十分吃惊。
法国人杜赫德编写的《耶稣会士中国书简集》有很详细的描述注解5】：
传教士利国安神父的信中，对中国不铸造标准金币和银币，而是使用不规则的金块、银块十分惊奇。
信中描述中国人善于辨别金银的成色，银子经常被分割小块（页118）：
如果是大额支付，也就是以两】为单位的银子，中国古人都会随身携带一个小秤。而且户部官员随时要校验：
法国学者布罗代尔的《15至18世纪的物质文明、经济和资本主义》（册1，页538）引用西方传教士的著作，描述了明清时代的中国人，如何使用白银注6】：
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随身携带剪刀和一种叫戥(děng)子的东西
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估算白银的成色、分量的技巧令人惊讶，中国小孩子都会。
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随身带着蜡块和盒子，收集白银的银屑。
这就是传教士口中的戥子】
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综上所述：
因为古代中国没有标准化的白银货币，吃饭、购物这种小额支付，当时的古人必须将以「两」为单位的白银，分割为「钱」这样更小的单位。
久而久之，人人熟能生巧。
那么，收银的店小二看一眼客人付的银子，就大概知道分量，以及银子成色，跟今天超市收银员一样，并不值得稀奇。