负数是不是自然数（0到底是不是自然数）
本文将在自然数系中引入一种新的运算 —— 减法，并将自然数系扩充为整数系，讨论一些相关性质。本文适合任何学历读者。
引言
在上一篇文章中，我们从皮亚诺公理出发定义了自然数集，并且讨论了在自然数集上封闭的两种运算 —— 加法和乘法。参考阅读：
如何证明 1 + 1 = 2 ? 从皮亚诺公理角度谈谈自然数
加法和乘法两种运算能做的事情终究是有限的。现在，我们需要引入一个新的运算 —— 减法，并且为了能使这个运算能够被很好地定义，我们需要一个比自然数集更大的集合 —— 整数集。
现在，我们面临一个问题：到底是先定义减法还是先定义整数？由于减法是整数集中的二元运算，从映射的角度看，没有理由先定义对应关系再定义集合，因此整数应该比减法更早定义。我们很容易想到，用两个自然数来定义一个整数，比如
。
如果使用
的形式来定义一个整数，那么我们需要考虑：
（1）何时它们表示同一个整数，例如 
；
（2）它们之间如何进行加减运算，例如 
（3） 是否涉及减法的循环定义，因为此时还未定义减法。
对于 (1)，我们只需要利用
与等价的事实即可。对于 (2)，我们依旧可以通过一些加法和乘法的定律来定义。对于 (3)，为了暂时规避减法，我们将这种二元运算暂时写成的形式，它的最终实质是减法，但我们暂且先假装不知道；等到减法被正式定义，再将 “” 替换为 “”。
整数的定义
定义 (整数)：一个整数是形如 a — b 的数，其中 a, b 是自然数；两个整数是相等的，即 a — b = c — d，当且仅当 a + d = c + b. 我们用
在这个定义之下，我们明白
和其实是同一个整数，这是因为。这样的定义有一个小问题，例如我们知道“”是整数，但并不形如“”，因此在这个定义下，“”还不是整数，这个之后会修正。
等式是否正当
上面的定义中的等式
是否正当？等式是一种联系两个相同类型的对象之间的关系。如何定义两个对象之间的相等，取决于这两个对象所在的类的描述。出于逻辑考量，等式应当遵循以下四条等式公理：
(自反公理) 对于任意对象 x, 有 x = x。
(对称公理) 对于任意相同类型的对象 x, y，若 x = y 则 y = x。
(传递公理) 对于任意相同类型的对象 x, y, z，若 x = y, y = z, 则 x = z。
(代换公理) 对于任意相同类型的对象 x, y，若 x = y，则 f(x) = f(y) 对于任何映射或运算 f 都成立。同理，对于有关 x 的任何性质 P(x)，若 x = y，则 P(x) 和 P(y) 是等价的陈述。
对于任意整数
，
自反性成立。
对于任意整数,，
对称性成立。同理，可以验证传递性成立，留给读者验证。对于代换公理，由于目前还未定义任何整数之间的运算（加法，乘法等），这个等我们定义了运算之后再验证。
整数的加法和乘法
下面定义整数的两种运算 —— 加法和乘法。
定义 (整数加法)：两个整数之和定义为
(a — b) + (c — d) = ( a + c ) — ( b + d ).
定义 (整数乘法)：两个整数之积定义为
(a — b) x (c — d) = ( ac + bd ) — ( ad + bc ).
例如，
，我们考虑一件事，我们将其中一个整数换成一个相等的整数，加法和乘法的定义是否依旧有效？例如，是否有？答案是肯定的，并有如下引理。
引理 (整数加法乘法定义明确)：对于任意整数 a, b, a', b', c, d，若 a — b = a' — b'，则
(a — b) + (c — d) = (a' — b') + (c — d),
(c — d) + (a — b) = (c — d) + (a' — b'),
(a — b) x (c — d) = (a' — b') x (c — d),
(c — d) x (a — b) = (c — d) x (a' — b') .
下面证明第一个等式，其他三个留给读者验证。由自然数加法的性质以及整数加法的定义可得：
证毕！
n 与 n — 0 之间的关联
考虑自然数集到整数集的一个映射，
对于加法而言，我们有
对于乘法而言，我们有
因此对于加法和乘法两种运算来说，
是自然数集到整数集的一个同态，进而自然数集可以同构于整数集的一个子集，也就是所有形如的整数构成的集合。换而言之，所有形如的整数和自然数具有完全相同的运算性质，因此在不破坏定义以及运算性质的前提下，可以很自然地将自然数集看作是整数集的子集，其中定义。
相反数
定义 (整数的相反数)：整数 a — b 的相反数 – (a — b) 定义为 b — a 。特别地，若 n = n — 0 是一个自然数，则它的相反数定义为 -n = 0 — n。
这个定义是有效的，因为对于两个相等的整数来说，它们的相反数也是相等的：
引理：若 x 是一个正整数，则下面三个陈述有且仅有一个为真：
（1）x 等于 0，
（2）x 是某个正的自然数 n，
（3）x 是某个正的自然数 n 的相反数 -n 。
证明：我们先证明 (1)，(2)，(3) 中至少有一个为真。根据整数定义，
可以写成的形式，其中为自然数。对于两个自然数而言，仅有三种可能性：或。若，则存在自然数使得，这等价于，这是情况 (2)；若，则
这是情况 (1)；若
，即，则存在自然数使得，这等价于，这是情况 (3)。
我们再证明 (1)，(2)，(3) 至多只能有一个成立。根据正自然数的定义，正自然数不能是
，从而 (1)，(2) 不可能同时成立；假设 (1)，(3) 同时成立，则存在某个正的自然数，它的相反数，而
矛盾！假设 (2)，(3) 同时成立，则存在两个正自然数
使得，而
必然是正自然数，因此矛盾！
证毕！
减法的定义
整数的代数运算法则：若 x , y , z 为整数，则
x + y = y + x
(x + y) + z = x + (y + z)
x + 0 = 0 + x = x
x + (-x) = (-x) + x = 0
xy = yx
(xy)z = x(yz)
x1 = 1x = x
x ( y + z ) = xy + yz
( y + z ) x = yx + zx.
这里以第一条为例，其他几条同理，由读者自行验证。对于两个整数而言，
因此加法交换律成立。有了整数的运算规则，现在可以定义减法了。
定义 (整数减法)：两个整数的减法定义为
a – b = a + (-b).
由于减法可以看成是加法和相反数的结合，而后两者都是定义有效的，因此减法的定义必然也是有效的。此时，不难验证
这说明
与是完全等价的运算，因此现在可以将 “” 替换为 “”。
整数的大小顺序
我们将自然数的大小顺序拓展至整数。
定义 (整数的大小顺序)：若
为整数，我们称大于等于当且仅当存在自然数使得，并记为或。我们称大于当且仅当且，并记为或。
性质 (整数的有序性)：若a, b, c为整数，那么
1. a > b 等价于 a – b 是正自然数。
2. 若 a > b，则 a + c > b + c.
3. 若 a > b 且 c > 0，则 ac > bc.
4. 若 a > b，则 -a < -b.
5. 若 a > b，b > c，则 a > c.
6. 以下三种情况仅有且必有一条成立：a > b，a < b 或 a = b.
整数的几个简单性质
现在列举整数几个的简单性质。
命题 ( 0 因子 )：若
为整数，则
或
推论 (整数的乘法消去律)：若
为整数，不为，则
以上两个性质可以由自然数的性质推广而来，证明留给读者。
至此，本文已经介绍完自然数系的扩充——整数系，在整数系中定义了减法，并简单列举了关于整数的一些性质。希望大家对于整数能有更深刻的理解