截长补短法(中考数学压轴题分析:截长补短)
【中考真题】
(2020•安徽)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.
(1)求证:BD⊥EC;
(2)若AB=1,求AE的长;
(3)如图2,连接AG,求证:EG﹣DG=√2AG.
【分析】本题最后一问需证明EG﹣DG=√2AG。结论中包含线段的和差等量关系,容易联想到截长补短的方法。
三大辅助线技巧——截长补短
由于又出现√2,因此考虑构造等腰直角三角形。
在线段EG上取点P,使得EP=DG,证明△AEP≌△ADG(SAS),得出AP=AG,∠EAP=∠DAG,证得△PAG为等腰直角三角形,可得出结论.
当然,如果顺时针将△AFG旋转90°也可以得到结论。
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,
∴∠EAF=∠DAB=90°,
又∵AE=AD,AF=AB,
∴△AEF≌△ADB(SAS),
∴∠AEF=∠ADB,
∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°,
即∠EGB=90°,
故BD⊥EC,
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥CD,
∴∠AEF=∠DCF,∠EAF=∠CDF,
∴△AEF∽△DCF,
∴AE/DC=AF/DF,
即AE•DF=AF•DC,
设AE=AD=a(a>0),则有a•(a﹣1)=1,化简得a2﹣a﹣1=0,
解得a=(1+√5)/2或(1-√5)/2(舍去),
∴AE=(1+√5)/2.
(3)如图,在线段EG上取点P,使得EP=DG,
在△AEP与△ADG中,AE=AD,∠AEP=∠ADG,EP=DG,
∴△AEP≌△ADG(SAS),
∴AP=AG,∠EAP=∠DAG,
∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°,
∴△PAG为等腰直角三角形,
∴EG﹣DG=EG﹣EP=PG=√2AG.