相交线与平行线（相交线与平行线经典题）
知识要点：
相交线与平行线知识框图
一、相交线
1．邻补角、对顶角的相关概念
（1）邻补角：
如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角.
（2）对顶角：
如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角.
如图，直线 AB 和 CD 相交于 O 点，形成四个角，分别是 ∠1，∠2，∠3，∠4 .
其中邻补角有 4 对，分别是 ∠1 和 ∠2，∠2 和 ∠3，∠3 和 ∠4，∠4 和 ∠1 ；
对顶角有 2 对，分别是 ∠1 和 ∠3，∠2 和 ∠4 .
2.邻补角和对顶角的性质
邻补角 互补；对顶角 相等.
3.邻补角、对顶角的应用
【例题1】如图，直线 a，b 相交，∠1=45°，求 ∠2，∠3，∠4 的度数．
解：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 45° = 135° .
∵ ∠3 = ∠1，∠4 = ∠2，
∴ ∠3 = 45°，∠4 = 135° .
二、垂线
1.垂线的相关概念
（1）垂直：
两条直线相交，有一个夹角是 直角，这两条直线互相 垂直；
（2）垂线：
两条直线互相 垂直，其中一条直线叫作另一条直线的 垂线 .
2.垂直的性质与判定
如图，
（1） 垂直的性质：
∵ AB⊥CD ( 已知 )，
∴ ∠AOC = 90° ( 垂直的定义 ).
（2）垂直的判定：
∵ ∠AOC=90° ( 已知 )，
∴ AB⊥CD ( 垂直的定义 ) .
3.垂线的性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
4.垂线的应用
【例题2】如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 O，∠1 = 40°，
求 ∠2 和 ∠COA 的度数 .
解：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠BOE = 90°，
∵ ∠2 + ∠BOE + ∠1 = 180°，
∴ ∠2 = 180° – ∠BOE – ∠1 = 50° .
又 ∵ ∠2 + ∠COA = 180°，
∴ ∠COA = 180° – ∠2 = 130° .
三、点到直线的距离
1.垂线段的定义：
如图，直线 PC⊥AB，把线段 PC 叫做点 P 到直线 AB 的 垂线段 .
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 .
如图，下列选项中最短的线段是 （ B ）
A.PA B.PB C.PC D.PD
3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离 .
如图，线段 PB 的长度，叫做点 P 到直线 m 的距离 .
四、同位角、内错角、同旁内角
1.三线八角
如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，构成八个角，简称“三线八角”.
（1）同侧同向 —— 同位角：
例如 ∠1 和 ∠5，图中还有 ∠4 和 ∠8，∠2 和 ∠6，∠7 和 ∠3；
（2）两侧异向 —— 内错角：
例如 ∠3 和 ∠5，图中还有 ∠4 和 ∠6；
（3）同侧异向 —— 同旁内角：
例如 ∠3 和 ∠6，图中还有 ∠4 和 ∠5 .
2.同位角、内错角、同旁内角
【例题3】如图，
① ∠1 与 ∠4 是同位角；② ∠2 与 ∠1 是内错角 ; ③ ∠3 与 ∠1 是同旁内角 .
3.同位角、内错角、同旁内角的应用
【例题4】如图，
① ∠1 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 同旁内 角 ;
② ∠4 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 同位 角 ;
③ ∠2 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 内错 角 .
五、平行线
1．平行线的定义
（1）观察思考：
在转动直线 a 的过程中，有没有直线 a 与直线 b 不相交的位置呢？
（2）定义及表示方法：
在同一平面内，不相交的两条直线 是平行线 .
直线 a 与 b 平行，记作 a∥b .
（3）总结：
同一平面内两条直线的位置关系有两种：① 平行，② 相交 .
2.平行公理及推论
（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 .
如图，
∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c .
3.平行线的判定
（1）判定方法 1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
如上图所示，用直尺和三角尺作出直线 AB，CD，
得到 AB∥CD 的理由是 同位角相等，两直线平行．
结合图形，用符号语言表述平行线 判定方法：
∵ ∠1=∠2 ( 已知 )，
∴ AB∥CD ( 同位角相等，两直线平行 ) .
（2）判定方法 2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
如图，
∵ ∠1=∠2，
∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）.
（3）判定方法 3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 .
简单说成：同旁内角互补，两直线平行 .
如图，
∵ ∠1 + ∠4 = 180°，
∴ a∥c（同旁内角互补，两直线平行）.
（4）判定方法 4：
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 .
∵ b⊥a , c⊥a ,
∴ b∥c .
4.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补 .
【例题5】如图所示，已知 AB∥CD .
（1）∠ABE = 130°，∠CDE = 152°，求 ∠E 的度数；
（2）请猜想 ∠B + ∠E + ∠D 的度数，并说明理由 .
参考答案：
（1）∠E = 78°；
（2）∠B + ∠E + ∠D = 360° .
（提示：过点 E 作 EF∥AB . ）
