千寻君来回答。
蝙蝠与老鼠关系很远。
我小时候也以为蝙蝠就是会飞的老鼠，我们当地称蝙蝠为“盐老鼠”，因为蝙蝠会从窗户钻进厨房里偷吃盐。甚至还有种说法：老鼠吃了盐后就会长出翅膀，变成蝙蝠。
在古代，蝙蝠是吉祥的象征，受到民间和文人墨客的尊崇，称其为“仙鼠”和“福鼠”。《山海经·北山经》记载：“其鸟多寓，状如鼠而鸟翼，其音如羊”，后世多将其解读为蝙蝠。白居易有诗云：千年鼠化白蝙蝠，黑洞深藏避网罗。可见，认为蝙蝠是老鼠变的似乎是一种悠久的文化传统。
近代生物科学兴起之后，生物学家根据各种生物之间的演化历程和关系远近将其分为不同的群体，蝙蝠属于翼手目，老鼠属于啮齿目，两者的关系相隔5000万年以上。相比于蝙蝠，老鼠和人类的关系更近些。三者的关系如下。
灵长总目：
啮齿目——鼠形亚目——鼠科——鼠属——老鼠 （近500个亚种）兔形目皮翼目
灵长目——人科——人属——智人（无亚种分化）
劳亚兽总目：
翼手目——小蝙蝠亚目——蝙蝠科（350个物种）
可见，蝙蝠与老鼠的关系很远，那两者为什么有这么多相似之处呢？我猜测可能源于哺乳动物的祖先——攀援始祖兽。
攀援始祖兽1.3亿年前就已出现，是最早的真兽类哺乳动物，根据化石复原结果来看，它像极了老鼠。
而蝙蝠和老鼠都是非常古老的哺乳动物，它们很可能就保留了攀援始祖兽的体貌特征。蝙蝠为了获得飞翔能力，前肢高度特化，爪子变得非常修长，爪间的皮肤演化成翼膜，成功飞上蓝天，成为唯一一种拥有飞翔能力的哺乳动物。而老鼠的身体外貌在近5000万年间几乎没有变化，将演化时间用来发展出强大的适应能力和繁殖能力，最终成为人类最痛恨的动物之一。